# 2019 Q3(5)  2024.9.21

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# パラメータ設定
theta_true = 10  # 真のθ
n = 15  # サンプルサイズ
num_simulations = 10000  # シミュレーション回数

# 仮の関数 u(Y) を定義（θと期待値に基づいた関数）
def u(Y, theta, n):
    # 例として、Y の関数として適当に定義（例えば u(Y) = Y^2 - 2Y）
    return Y**2 - 2*Y

# シミュレーションでの最大値Yを格納するリスト
max_values = []

# シミュレーション開始
for _ in range(num_simulations):
    # U(0, theta_true) から n 個の乱数を生成
    samples = np.random.uniform(0, theta_true, n)
    
    # その中での最大値Yを記録
    max_values.append(np.max(samples))

# 関数 u(Y) に基づく E[u(Y)] を計算
u_values = [u(y, theta_true, n) for y in max_values]
expected_u_Y = np.mean(u_values)

# 結果の表示
print(f"シミュレーションによる E[u(Y)]: {expected_u_Y}")

# u(Y) の値のヒストグラムを描画
plt.hist(u_values, bins=30, density=True, alpha=0.7, color='blue', edgecolor='black', label='u(Y) のシミュレーション結果')

# 期待値の線を追加
plt.axvline(expected_u_Y, color='red', linestyle='--', label=f'期待値 E[u(Y)] = {expected_u_Y:.4f}')

# グラフ設定
plt.title('関数 u(Y) の分布と期待値')
plt.xlabel('u(Y) の値')
plt.ylabel('密度')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

シミュレーションによる E[u(Y)]: 69.66620056705366

# 2019 Q3(5)  2024.9.21

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# パラメータ設定
theta_true = 10  # 真のθ
n = 15  # サンプルサイズ
num_simulations = 10000  # シミュレーション回数

# 仮の関数 u(Y) を定義（θと期待値に基づいた関数）
def u(Y, theta, n):
    # 例: 0
    return 0

# シミュレーションでの最大値Yを格納するリスト
max_values = []

# シミュレーション開始
for _ in range(num_simulations):
    # U(0, theta_true) から n 個の乱数を生成
    samples = np.random.uniform(0, theta_true, n)
    
    # その中での最大値Yを記録
    max_values.append(np.max(samples))

# 関数 u(Y) に基づく E[u(Y)] を計算
u_values = [u(y, theta_true, n) for y in max_values]
expected_u_Y = np.mean(u_values)

# 結果の表示
print(f"シミュレーションによる E[u(Y)]: {expected_u_Y}")

# u(Y) の値のヒストグラムを描画
plt.hist(u_values, bins=30, density=True, alpha=0.7, color='blue', edgecolor='black', label='u(Y) のシミュレーション結果')

# 期待値の線を追加
plt.axvline(expected_u_Y, color='red', linestyle='--', label=f'期待値 E[u(Y)] = {expected_u_Y:.4f}')

# グラフ設定
plt.title('関数 u(Y) の分布と期待値')
plt.xlabel('u(Y) の値')
plt.ylabel('密度')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

シミュレーションによる E[u(Y)]: 0.0

# 2019 Q3(5)  2024.9.21

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# パラメータ設定
theta_true = 10  # 真のθ
n = 15  # サンプルサイズ
num_simulations = 10000  # シミュレーション回数

# 仮の関数 u(Y) を定義（θと期待値に基づいた関数）
def u(Y, theta, n):
    # 例: Y - n/(n+1) * θ
    return Y - (n / (n + 1)) * theta

# シミュレーションでの最大値Yを格納するリスト
max_values = []

# シミュレーション開始
for _ in range(num_simulations):
    # U(0, theta_true) から n 個の乱数を生成
    samples = np.random.uniform(0, theta_true, n)
    
    # その中での最大値Yを記録
    max_values.append(np.max(samples))

# 関数 u(Y) に基づく E[u(Y)] を計算
u_values = [u(y, theta_true, n) for y in max_values]
expected_u_Y = np.mean(u_values)

# 結果の表示
print(f"シミュレーションによる E[u(Y)]: {expected_u_Y}")

# u(Y) の値のヒストグラムを描画
plt.hist(u_values, bins=30, density=True, alpha=0.7, color='blue', edgecolor='black', label='u(Y) のシミュレーション結果')

# 期待値の線を追加
plt.axvline(expected_u_Y, color='red', linestyle='--', label=f'期待値 E[u(Y)] = {expected_u_Y:.4f}')

# グラフ設定
plt.title('関数 u(Y) の分布と期待値')
plt.xlabel('u(Y) の値')
plt.ylabel('密度')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

シミュレーションによる E[u(Y)]: -0.0069045066145089744

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import gaussian_kde

# パラメータ設定
n = 15  # サンプルサイズ
num_simulations = 10000  # シミュレーション回数
Y_values = np.arange(1, 11, 1)  # Y を 1 から 10 に変化させる

# シミュレーション結果を格納するリスト
simulated_f_values = []  # シミュレーションによる f の値
theoretical_f_values = []  # 理論値 f(x_1, ..., x_{n-1} | Y=y)

# シミュレーション開始
for Y in Y_values:
    f_sim_sum = 0  # f(x_1, ..., x_{n-1} | Y=y) の合計
    
    for _ in range(num_simulations):
        # Y より小さい範囲で n-1 個のサンプルを生成し、観測された最大値 Y を追加
        samples = np.random.uniform(0, Y, n-1)
        samples = np.append(samples, Y)  # 観測値としての Y を追加
        
        # カーネル密度推定を実行
        kde = gaussian_kde(samples)  # サンプルに基づいてKDEを実行
        
        # samples から Y (最後の要素) を除いた部分で密度を計算
        f_sim = np.prod(kde.evaluate(samples[:-1]))  # サンプルごとの確率密度を掛け合わせる
        
        # f(y) = 1 として扱う（条件付き分布）
        f_sim_sum += f_sim
    
    # シミュレーション結果の平均をリストに追加
    simulated_f_values.append(f_sim_sum / num_simulations)
    
    # 理論値 1 / Y^(n-1) を計算
    theoretical_f_values.append(1 / Y**(n-1))

# グラフ描画
plt.plot(Y_values, simulated_f_values, 'bo-', label='シミュレーション結果')
plt.plot(Y_values, theoretical_f_values, 'r--', label='理論値 1/Y^(n-1)')

# 縦軸を対数スケールに変更
plt.yscale('log')

# グラフ設定
plt.title(f'f(x1, ..., xn-1 | Y=y) のシミュレーション結果と理論値 (n={n})')
plt.xlabel('Y の値')
plt.ylabel('f(x1, ..., xn-1 | Y=y)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

# 2019 Q3(2)  2024.9.18

import sympy as sp

# 変数を定義
y, theta, n = sp.symbols('y theta n')

# 累積分布関数 F_Y(y) を定義
F_Y = (y / theta)**n  # F_Y(y) = (y / θ)^n

# 確率密度関数 g(y) を F_Y(y) の y に関する微分として計算
g_y = sp.diff(F_Y, y)

# 簡略化
g_y_simplified = sp.simplify(g_y)

# 結果を表示
display(g_y_simplified)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# パラメータ
n = 10  # サンプルサイズ（n個の一様分布からのサンプル）
theta = 10  # 一様分布の上限
num_simulations = 10000  # シミュレーション回数

# 最大値 Y のリスト
Y_values = []

# シミュレーション
for _ in range(num_simulations):
    samples = np.random.uniform(0, theta, n)  # (0, θ)の範囲からn個のサンプルを生成
    Y = np.max(samples)  # 最大値を計算
    Y_values.append(Y)

# ヒストグラムを描画
plt.hist(Y_values, bins=30, density=True, alpha=0.7, color='blue', edgecolor='black', label='シミュレーション結果')

# 理論上の確率密度関数を描画
y = np.linspace(0, theta, 1000)
g_y = (n / theta**n) * y**(n-1)
plt.plot(y, g_y, color='red', label='理論的な分布')

# グラフの設定
plt.title(f'最大値 Y の分布と理論的分布 (n={n}, θ={theta})')
plt.xlabel('最大値 Y')
plt.ylabel('確率密度')
plt.legend()
plt.show()