# 2018 Q5(3)  2024.10.23

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# 定義域 (y1 と y3 は [0, 1] の範囲で変動)
y1_values = np.linspace(0, 1, 100)
y3_values = np.linspace(0, 1, 100)

# メッシュグリッドを作成
Y1, Y3 = np.meshgrid(y1_values, y3_values)

# 同時確率密度関数 f13(y1, y3) = 6(y3 - y1), ただし y3 >= y1
f13 = np.where(Y3 >= Y1, 6 * (Y3 - Y1), 0)

# 等高線のための Z の値を設定 (例として Z = 0.2, 0.5, 0.8 を使用)
Z_values = [0.2, 0.5, 0.8]

# 3D グラフの描画を再度行う
fig = plt.figure(figsize=(10, 8))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

# 3Dプロット (同時確率密度関数 f13(y1, y3))
ax.plot_surface(Y1, Y3, f13, cmap='viridis', alpha=0.8)

# 各 Z = Y3 - Y1 の線をプロット
for z_value in Z_values:
    y1_line = np.linspace(0, 1 - z_value, 100)
    y3_line = y1_line + z_value
    ax.plot(y1_line, y3_line, zs=0, zdir='z', label=f'$Z = {z_value}$', lw=2)

# 軸ラベル
ax.set_title('同時確率密度関数 $f_{13}(y_1, y_3)$ と $Z = Y_3 - Y_1$', fontsize=14)
ax.set_xlabel('$y_1$', fontsize=12)
ax.set_ylabel('$y_3$', fontsize=12)
ax.set_zlabel('$f_{13}(y_1, y_3)$', fontsize=12)

# 凡例
ax.legend()

# グラフの表示
plt.show()

# 2018 Q5(3)  2024.10.23

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# サンプルデータの生成 (Z = Y3 - Y1 としてシミュレーション)
n_samples = 10000  # サンプル数
samples = np.random.uniform(0, 1, (n_samples, 3))  # 一様分布からサンプリング
Y1_samples = np.min(samples, axis=1)  # 最小値 Y1
Y3_samples = np.max(samples, axis=1)  # 最大値 Y3

# Z = Y3 - Y1 を計算
Z_samples = Y3_samples - Y1_samples

# Zの期待値と分散を計算
expected_Z = np.mean(Z_samples)
variance_Z = np.var(Z_samples)

# 理論値との比較
theoretical_Z_mean = 0.5
theoretical_Z_var = 1/20

# 期待値と分散を表示
print(f"シミュレーションによる E[Z]（期待値）: {expected_Z:.4f}, 理論値: {theoretical_Z_mean:.4f}")
print(f"シミュレーションによる Var[Z]（分散）: {variance_Z:.4f}, 理論値: {theoretical_Z_var:.4f}")

# Zの理論的な確率密度関数の定義
z_values = np.linspace(0, 1, 500)
f_z_theoretical = 6 * z_values * (1 - z_values)

# ヒストグラムと理論的なPDFを重ねて描画
plt.figure(figsize=(8, 6))

# サンプルのヒストグラムを描画 (確率密度として正規化)
plt.hist(Z_samples, bins=50, density=True, alpha=0.5, color='purple', label='Z samples (Y3 - Y1)')

# 理論的な確率密度関数のプロット
plt.plot(z_values, f_z_theoretical, label='Theoretical $f_Z(z) = 6z(1-z)$', color='black', linewidth=2)

# グラフの設定
plt.title('Z = Y3 - Y1 の確率密度関数 (シミュレーションと理論)', fontsize=14)
plt.xlabel('Z', fontsize=12)
plt.ylabel('密度', fontsize=12)
plt.legend(loc='upper right', fontsize=10)
plt.grid(True)

# グラフの表示
plt.show()

シミュレーションによる E[Z]（期待値）: 0.4992, 理論値: 0.5000
シミュレーションによる Var[Z]（分散）: 0.0500, 理論値: 0.0500

# 2018 Q5(2)  2024.10.22

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定義域
y_values = np.linspace(0, 1, 500)

# 確率密度関数 f2(y) の定義
f2_y = 6 * y_values * (1 - y_values)

# シミュレーションの設定
n_samples = 10000   # サンプル数

# 一様分布から3つの変数をサンプリング
samples = np.random.uniform(0, 1, (n_samples, 3))

# 順序統計量の第2要素を抽出 (Y2)
Y2_samples = np.median(samples, axis=1)  # 中央値

# 期待値の計算
expected_Y2 = np.mean(Y2_samples)

# 理論値との比較
theoretical_Y2 = 0.5  # 中央値

# 期待値を表示
print(f"シミュレーションによる E[Y2]（中間値の期待値）: {expected_Y2:.4f}, 理論値: {theoretical_Y2:.4f}")

# ヒストグラムの作成
plt.figure(figsize=(8, 6))

# 理論密度関数 f2(y) のプロット
plt.plot(y_values, f2_y, label='$f_2(y) = 6y(1-y)$', color='red')

# サンプルのヒストグラムを追加 (確率密度として正規化)
plt.hist(Y2_samples, bins=50, density=True, alpha=0.5, color='red', label='Y2 samples (median)')

# グラフの設定
plt.title('確率密度関数 $f_2(y)$ とヒストグラム (シミュレーションと理論)', fontsize=14)
plt.xlabel('y', fontsize=12)
plt.ylabel('密度', fontsize=12)
plt.legend(loc='upper right', fontsize=10)
plt.grid(True)

# グラフの表示
plt.show()

シミュレーションによる E[Y2]（中間値の期待値）: 0.5006, 理論値: 0.5000

# 2018 Q5(2)  2024.10.22

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定義域
y_values = np.linspace(0, 1, 500)

# 確率密度関数の定義
f1_y = 3 * (1 - y_values) ** 2
f2_y = 6 * y_values * (1 - y_values)
f3_y = 3 * y_values ** 2

# CDF (累積分布関数) の計算
cdf1_y = np.cumsum(f1_y) * (y_values[1] - y_values[0])
cdf2_y = np.cumsum(f2_y) * (y_values[1] - y_values[0])
cdf3_y = np.cumsum(f3_y) * (y_values[1] - y_values[0])

# グラフの作成
plt.figure(figsize=(10, 8))

# 確率密度関数 (PDF) のプロット
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(y_values, f1_y, label='$f_1(y)$', color='blue')
plt.plot(y_values, f2_y, label='$f_2(y)$', color='red')
plt.plot(y_values, f3_y, label='$f_3(y)$', color='green')
plt.title('確率密度関数 (PDF)', fontsize=14)
plt.xlabel('y', fontsize=12)
plt.ylabel('密度', fontsize=12)
plt.legend(loc='upper right', fontsize=10)
plt.grid(True)

# 累積分布関数 (CDF) のプロット
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(y_values, cdf1_y, label='$F_1(y)$', color='blue')
plt.plot(y_values, cdf2_y, label='$F_2(y)$', color='red')
plt.plot(y_values, cdf3_y, label='$F_3(y)$', color='green')
plt.title('累積分布関数 (CDF)', fontsize=14)
plt.xlabel('y', fontsize=12)
plt.ylabel('累積確率', fontsize=12)
plt.legend(loc='lower right', fontsize=10)
plt.grid(True)

# グラフの表示
plt.tight_layout()
plt.show()

# 2018 Q5(1)  2024.10.21

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定義域
y_values = np.linspace(0, 1, 500)

# 確率密度関数の定義
f1_y = 3 * (1 - y_values) ** 2
f3_y = 3 * y_values ** 2

# シミュレーションの設定
n_samples = 10000   # サンプル数

# 一様分布から3つの変数をサンプリング
samples = np.random.uniform(0, 1, (n_samples, 3))

# 順序統計量を求める
Y1_samples = np.min(samples, axis=1)  # 最小値
Y3_samples = np.max(samples, axis=1)  # 最大値

# 期待値の計算
expected_Y1 = np.mean(Y1_samples)
expected_Y3 = np.mean(Y3_samples)

# 理論値との比較
theoretical_Y1 = 1/4
theoretical_Y3 = 3/4

# 期待値を表示
print(f"シミュレーションによる E[Y1]（最小値の期待値）: {expected_Y1:.4f}, 理論値: {theoretical_Y1:.4f}")
print(f"シミュレーションによる E[Y3]（最大値の期待値）: {expected_Y3:.4f}, 理論値: {theoretical_Y3:.4f}")

# ヒストグラムの作成
plt.figure(figsize=(8, 6))

# 理論密度関数のプロット
plt.plot(y_values, f1_y, label='$f_1(y) = 3(1-y)^2$', color='blue')
plt.plot(y_values, f3_y, label='$f_3(y) = 3y^2$', color='green')

# サンプルのヒストグラムを追加 (確率密度として正規化)
plt.hist(Y1_samples, bins=50, density=True, alpha=0.5, color='blue', label='Y1 samples (min)')
plt.hist(Y3_samples, bins=50, density=True, alpha=0.5, color='green', label='Y3 samples (max)')

# グラフの設定
plt.title('確率密度関数 $f_1(y)$ と $f_3(y)$ (シミュレーションと理論)', fontsize=14)
plt.xlabel('y', fontsize=12)
plt.ylabel('密度', fontsize=12)
plt.legend(loc='upper right', fontsize=10)
plt.grid(True)

# グラフの表示
plt.show()

シミュレーションによる E[Y1]（最小値の期待値）: 0.2499, 理論値: 0.2500
シミュレーションによる E[Y3]（最大値の期待値）: 0.7487, 理論値: 0.7500