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2016 Q1(3)

投稿日:2024年5月9日　最終更新日:2024年11月13日

正規分布の母平均μに対するθ＝exp(μ)の最尤推定量の平均二乗誤差が０になることを示しました。

コード

シミュレーションを行います。 $\hat{\theta} = e^{\bar{X}}$ に対して、 $MSE[\hat{\theta}] = E\left[(\hat{\theta} - \theta)^2\right]$ を計算し、理論値とともにプロットします。サンプルサイズnを増加させて、MSEの変化を観察します。

# 2016 Q1(3)  2024.11.13

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 真の値とシミュレーション設定
mu_true = 1.0  # 真の平均 (mu)
theta_true = np.exp(mu_true)  # 真の θ = e^mu
n_trials = 10000  # シミュレーション試行回数
sample_sizes = np.arange(5, 101, 5)  # サンプルサイズの範囲

# MSEを格納するリスト
mse_simulated = []

# 理論的なMSEの計算関数
def theoretical_mse(n, mu):
    return np.exp(2 * mu) * (np.exp(2 / n) - 2 * np.exp(1 / (2 * n)) + 1)

mse_theoretical = [theoretical_mse(n, mu_true) for n in sample_sizes]

# シミュレーションでのMSE計算
for n_samples in sample_sizes:
    mse_trials = []

    for _ in range(n_trials):

        sample = np.random.normal(loc=mu_true, scale=1, size=n_samples)
        X_bar = np.mean(sample)
        
        theta_hat = np.exp(X_bar)  # 最尤推定量
        mse_trials.append((theta_hat - theta_true) ** 2)  # MSEの計算

    mse_simulated.append(np.mean(mse_trials))  # 試行平均を格納

# グラフの描画
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(sample_sizes, mse_simulated, marker='o', linestyle='-', color='blue', label='シミュレーション MSE')
plt.plot(sample_sizes, mse_theoretical, marker='s', linestyle='--', color='red', label='理論的 MSE')
plt.title('MSEのシミュレーションと理論値', fontsize=16)
plt.xlabel('サンプルサイズ $n$', fontsize=14)
plt.ylabel('MSE', fontsize=14)
plt.legend(fontsize=12)
plt.grid(True)
plt.show()

サンプルサイズnが増加するにつれて、 $MSE[\hat{\theta}]$ は0に近づきました。これにより、 $\lim_{n \to \infty} MSE[\hat{\theta}] = 0$ になることが理論とシミュレーションの両方で確認できました。また、この結果から最尤推定量 $\hat{\theta}$ が漸近的一致性を持つことが分かりました。