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「負の二項分布」カテゴリーアーカイブ

2022 Q3(5)

投稿日:2024年1月31日 　最終更新日:2024年8月6日

モーメント法によりガンマポアソン分布のパラメータの推定量を求めました。

コード

数式を使った計算

# 2022 Q3(5)  2024.8.6

from sympy import init_printing
from sympy import symbols, Eq, solve

# これでTexの表示ができる
init_printing()

# 変数の定義
r, p, X_bar, S_squared = symbols('r p X_bar S_squared')
alpha, beta = symbols('alpha beta')

# モーメント法の方程式を定義
# 期待値 E[X] にサンプル平均を一致させる
eq1_correct = Eq(X_bar, alpha / beta)
# 分散 V[X] にサンプル分散を一致させる
eq2_correct = Eq(S_squared, alpha / beta**2 + alpha / beta)

# 方程式を解いて α と β を求める
solutions_correct = solve((eq1_correct, eq2_correct), (alpha, beta))
solutions_correct

シミュレーションによる計算

# 2022 Q3(5)  2024.8.6

import numpy as np
from scipy.stats import nbinom

# 1. パラメータの設定
alpha_true = 3.0
beta_true = 2.0

# 2. 負の二項分布のパラメータ計算
r = alpha_true
p = beta_true / (beta_true + 1)

# 3. 負の二項分布から乱数を生成
sample_size = 10000
nbinom_samples = nbinom.rvs(r, p, size=sample_size)

# 4. サンプル統計量の計算
X_bar = np.mean(nbinom_samples)
S_squared = np.var(nbinom_samples, ddof=1)

# 5. モーメント法によるパラメータ推定
alpha_estimated = X_bar**2 / (S_squared - X_bar)
beta_estimated = X_bar / (S_squared - X_bar)

# 6. 推定結果の表示
print(f"推定された α: {alpha_estimated}")
print(f"推定された β: {beta_estimated}")
print(f"理論値 α: {alpha_true}")
print(f"理論値 β: {beta_true}")
推定された α: 2.93536458612626
推定された β: 1.95157541794180
理論値 α: 3.0
理論値 β: 2.0

アルゴリズム

シミュレーションによる計算

パラメータの設定:

  • 真のパラメータ \alpha と \beta を設定する。

負の二項分布のパラメータ計算:

  • パラメータ r = \alpha
  • パラメータ p = \frac{\beta}{\beta + 1}

負の二項分布から乱数を生成:

  • サンプルサイズ n を設定し、負の二項分布から乱数を生成する。

サンプル統計量の計算:

  • サンプル平均 \bar{X} と分散 S^2 を計算する。

モーメント法によるパラメータ推定:

  • 推定された \alpha を \alpha = \frac{\bar{X}^2}{S^2 - \bar{X}} で計算する。
  • 推定された \beta を \beta = \frac{\bar{X}}{S^2 - \bar{X}} で計算する。

推定結果の表示:

  • 推定された \alpha と \beta を表示する。
  • 真の \alpha と \beta を表示する。

2022 Q3(4)

投稿日:2024年1月30日 　最終更新日:2024年8月7日

条件付き期待値の公式と条件付き分散の公式を使ってガンマポアソン分布の期待値と分散を求めました。

コード

数式を使った計算

# 2022 Q3(4)  2024.8.7

import sympy as sp

# 定義
k, lambda_var = sp.symbols('k lambda')
alpha, beta = sp.symbols('alpha beta', positive=True)

# ポアソン分布の確率質量関数
poisson_pmf = (lambda_var**k * sp.exp(-lambda_var)) / sp.factorial(k)

# ガンマ分布の確率密度関数
gamma_pdf = (beta**alpha / sp.gamma(alpha)) * lambda_var**(alpha - 1) * sp.exp(-beta * lambda_var)

# 周辺分布の計算
marginal_distribution = sp.integrate(poisson_pmf * gamma_pdf, (lambda_var, 0, sp.oo)).simplify()

# 期待値 E[X] の計算
expected_value = sp.summation(k * marginal_distribution, (k, 0, sp.oo)).simplify()

# 分散 V[X] の計算
expected_value_of_square = sp.summation(k**2 * marginal_distribution, (k, 0, sp.oo)).simplify()
variance = (expected_value_of_square - expected_value**2).simplify()

# 結果を表示
results = {
    "期待値 E[X]": expected_value,
    "分散 V[X]": variance
}

results
{'期待値 E[X]': alpha/beta, '分散 V[X]': alpha*(beta + 1)/beta**2}

シミュレーションによる計算

import numpy as np

# パラメータの設定
alpha = 3.0
beta = 2.0
sample_size = 10000

# ガンマ分布から λ を生成
lambda_samples = np.random.gamma(alpha, 1/beta, sample_size)

# 生成された λ を使ってポアソン分布から X を生成
poisson_samples = [np.random.poisson(lam) for lam in lambda_samples]

# サンプルの期待値と分散を計算
sample_mean = np.mean(poisson_samples)
sample_variance = np.var(poisson_samples)

# 理論値を計算
theoretical_mean = alpha / beta
theoretical_variance = alpha * (beta + 1) / beta**2

# 結果を表示
results_with_caption = {
    "シミュレーションによる期待値": sample_mean,
    "理論値による期待値": theoretical_mean,
    "シミュレーションによる分散": sample_variance,
    "理論値による分散": theoretical_variance
}

results_with_caption
{'シミュレーションによる期待値': 1.5027,
 '理論値による期待値': 1.5,
 'シミュレーションによる分散': 2.31159271,
 '理論値による分散': 2.25}

2022 Q3(3)

投稿日:2024年1月29日 　最終更新日:2024年8月5日

ポアソン分布のパラメータλがガンマ分布に従うと負の二項分布になる。

コード

数式を使った計算

# 2022 Q3(3)  2024.8.5

import sympy as sp

# 定義
k = sp.symbols('k', integer=True)
alpha, beta = sp.symbols('alpha beta', positive=True)
lambda_var = sp.symbols('lambda', positive=True)

# ポアソン分布の確率質量関数
poisson_pmf = (lambda_var**k * sp.exp(-lambda_var)) / sp.factorial(k)

# ガンマ分布の確率密度関数
gamma_pdf = (beta**alpha / sp.gamma(alpha)) * lambda_var**(alpha - 1) * sp.exp(-beta * lambda_var)

# 周辺分布の計算
marginal_distribution = sp.integrate(poisson_pmf * gamma_pdf, (lambda_var, 0, sp.oo)).simplify()

marginal_distribution

次式と同じなので、負の二項分布となる。

シミュレーションによる計算

# 2022 Q3(3)  2024.8.5

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import gamma, nbinom

# パラメータの設定
alpha = 3.0
beta = 2.0
sample_size = 10000

# ガンマ分布から λ を生成
lambda_samples = np.random.gamma(alpha, 1/beta, sample_size)

# 生成された λ を使ってポアソン分布から X を生成
poisson_samples = [np.random.poisson(lam) for lam in lambda_samples]

# 負の二項分布のパラメータを設定
r = alpha
p = beta / (beta + 1)

# 負の二項分布から理論的な確率質量関数を計算
x = np.arange(0, max(poisson_samples) + 1)
nbinom_pmf = nbinom.pmf(x, r, p)

# ヒストグラムの描画
plt.hist(poisson_samples, bins=np.arange(0, max(poisson_samples) + 1) - 0.5, density=True, alpha=0.75, color='blue', edgecolor='black', rwidth=0.8)

# 理論的な負の二項分布の確率質量関数をプロット
plt.plot(x, nbinom_pmf, 'r', linestyle='-', label='理論的な負の二項分布')

# グラフのタイトルとラベル
plt.title('ポアソン-ガンマ混合分布のシミュレーション結果')
plt.xlabel('値')
plt.ylabel('確率密度')
plt.legend()

# グラフの表示
plt.grid(True)
plt.show()