# 2017 Q5(1)  2024.11.8

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# サンプルサイズ
n_samples = 10000

# 標準正規分布 N(0, 1) からサンプルを生成
Z = np.random.normal(0, 1, n_samples)

# Z を二乗して V を計算
V = Z**2

# 導いた理論的な確率密度関数 f(v) の定義
def theoretical_pdf(v):
    return (1 / np.sqrt(2 * np.pi)) * (1 / np.sqrt(v)) * np.exp(-v / 2)

# x 軸の範囲を設定し、f(v) を計算
x = np.linspace(0.01, 10, 100)  # 0に近い値での計算エラーを避けるため0.01から
f_v = theoretical_pdf(x)

# ヒストグラムの描画
plt.hist(V, bins=200, density=True, alpha=0.5, label='シミュレーションによる $V=Z^2$')
plt.plot(x, f_v, 'r-', label='理論的な $f(v) = \\frac{1}{\\sqrt{2\\pi}} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{v}} e^{-v/2}$')
plt.xlabel('$V$')
plt.ylabel('密度')
plt.legend()
plt.title('自由度1のカイ二乗分布に従う $V=Z^2$ のシミュレーションと理論密度関数')
plt.show()

# 2018 Q1(3)  2024.10.3

import sympy as sp

# 変数の定義
y, n, sigma = sp.symbols('y n sigma', positive=True)
k = n - 1  # 自由度

# カイ二乗分布の確率密度関数 g(y)
g_y = (1/2)**(k/2) * y**(k/2 - 1) * sp.exp(-y/2) / sp.gamma(k/2)

# 平方根の期待値 E[√Y] の積分を計算
E_sqrt_Y = sp.integrate(sp.sqrt(y) * g_y, (y, 0, sp.oo))

# 標本標準偏差 S の期待値 E[S] を計算
E_S = sigma * E_sqrt_Y / sp.sqrt(n-1)

# 結果の表示
display(E_sqrt_Y.simplify())  # E[√Y] の表示
display(E_S.simplify())       # E[S] の表示

# 2018 Q1(3)  2024.10.3

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import gamma

# パラメータ設定
n = 10  # サンプルサイズ (自由度は n-1)
degrees_of_freedom = n - 1  # 自由度
sigma = 2  # 母標準偏差
num_simulations = 10000  # シミュレーションの回数

# カイ二乗分布に従う乱数を生成
chi_squared_samples = np.random.chisquare(df=degrees_of_freedom, size=num_simulations)

# 平方根 E[√Y] のシミュレーション
sqrt_Y_simulation = np.mean(np.sqrt(chi_squared_samples))

# 標本標準偏差 S のシミュレーション
S_simulation = np.mean(sigma * np.sqrt(chi_squared_samples / (n - 1)))

# 理論値 E[√Y] と E[S] の計算
E_sqrt_Y_theoretical = np.sqrt(2) * gamma(n / 2) / gamma((n - 1) / 2)
E_S_theoretical = sigma * np.sqrt(2 / (n - 1)) * gamma(n / 2) / gamma((n - 1) / 2)

# 結果表示
print(f"平方根 E[√Y] の理論値: {E_sqrt_Y_theoretical:.4f}")
print(f"平方根 E[√Y] のシミュレーション結果: {sqrt_Y_simulation:.4f}")
print(f"標本標準偏差 E[S] の理論値: {E_S_theoretical:.4f}")
print(f"標本標準偏差 E[S] のシミュレーション結果: {S_simulation:.4f}")

# ヒストグラムの描画
plt.figure(figsize=(10, 6))

# 平方根 E[√Y] のヒストグラム
plt.hist(np.sqrt(chi_squared_samples), bins=50, alpha=0.5, color='b', edgecolor='black', label='sqrt(Y) サンプル', density=True)

# 標本標準偏差 E[S] のヒストグラム
plt.hist(sigma * np.sqrt(chi_squared_samples / (n - 1)), bins=50, alpha=0.5, color='r', edgecolor='black', label='S サンプル', density=True)

# 平方根 E[√Y] の理論値の線
plt.axvline(E_sqrt_Y_theoretical, color='blue', linestyle='dashed', linewidth=2, label='理論 E[√Y]')

# 標本標準偏差 E[S] の理論値の線
plt.axvline(E_S_theoretical, color='red', linestyle='dashed', linewidth=2, label='理論 E[S]')

# グラフの設定
plt.title('平方根 E[√Y] と 標本標準偏差 E[S] の分布')
plt.xlabel('値')
plt.ylabel('頻度')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

平方根 E[√Y] の理論値: 2.9180
平方根 E[√Y] のシミュレーション結果: 2.9222
標本標準偏差 E[S] の理論値: 1.9453
標本標準偏差 E[S] のシミュレーション結果: 1.9481

# 2018 Q1(2)  2024.10.2

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# パラメータ設定
n = 10  # サンプルサイズ (自由度は n-1)
degrees_of_freedom = n - 1  # 自由度
num_simulations = 10000  # シミュレーションの回数

# カイ二乗分布に従うランダム変数を生成
chi_squared_samples = np.random.chisquare(df=degrees_of_freedom, size=num_simulations)

# 期待値と分散を計算
empirical_mean = np.mean(chi_squared_samples)
empirical_variance = np.var(chi_squared_samples)

# 理論値
theoretical_mean = degrees_of_freedom  # 期待値 E[Y] = n-1
theoretical_variance = 2 * degrees_of_freedom  # 分散 Var(Y) = 2(n-1)

# 結果表示
print(f"カイ二乗分布の期待値 (理論): {theoretical_mean:.4f}")
print(f"カイ二乗分布の期待値 (シミュレーション): {empirical_mean:.4f}")
print(f"カイ二乗分布の分散 (理論): {theoretical_variance:.4f}")
print(f"カイ二乗分布の分散 (シミュレーション): {empirical_variance:.4f}")

# ヒストグラムを描画して確認
plt.hist(chi_squared_samples, bins=50, alpha=0.7, color='b', edgecolor='black')
plt.axvline(empirical_mean, color='r', linestyle='dashed', linewidth=2, label='シミュレーション平均')
plt.axvline(theoretical_mean, color='g', linestyle='dashed', linewidth=2, label='理論平均')
plt.title('カイ二乗分布 (自由度 10-1)')
plt.xlabel('値')
plt.ylabel('頻度')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

カイ二乗分布の期待値 (理論): 9.0000
カイ二乗分布の期待値 (シミュレーション): 8.9728
カイ二乗分布の分散 (理論): 18.0000
カイ二乗分布の分散 (シミュレーション): 18.3530