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2015 Q1(4)

投稿日:2024年6月7日 　最終更新日:2024年12月5日

不偏分散が母分散の一致推定量であることを確認しました。

　

コード

S^2が\sigma^2の一致推定量であるか確認するため、\text{Var}[S^2] = \frac{2\sigma^4}{n - 1}をシミュレーションし、理論値とともにグラフで確認してみます。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# パラメータ設定
mu = 0       # 母平均
sigma2 = 4   # 母分散
sigma = np.sqrt(sigma2)  # 母標準偏差
n_values = [10, 20, 50, 100, 200]  # 標本サイズ
num_simulations = 1000  # シミュレーション回数

# 不偏分散の分散をシミュレーションで計算
simulated_variances = []
theoretical_variances = []

for n in n_values:
    sample_variances = []

    for _ in range(num_simulations):
        sample = np.random.normal(mu, sigma, n)
        unbiased_variance = np.var(sample, ddof=1)  # 不偏分散
        sample_variances.append(unbiased_variance)

    # サンプル分散の分散を計算
    var_of_sample_variance = np.var(sample_variances)
    simulated_variances.append(var_of_sample_variance)

    # 理論値を計算
    theoretical_variance = 2 * sigma2**2 / (n - 1)
    theoretical_variances.append(theoretical_variance)

# グラフの作成
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(n_values, simulated_variances, marker='o', linestyle='-', color='blue', label="シミュレーション値")
plt.plot(n_values, theoretical_variances, marker='o', linestyle='--', color='orange', label="理論値")

# グラフの装飾
plt.title("不偏分散の分散の収束 (シミュレーション vs 理論)")
plt.xlabel("標本サイズ n")
plt.ylabel("分散 (Var[$S^2$])")
plt.grid()
plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()

S^2のシミュレーション結果は、理論値\text{Var}[S^2] = \frac{2\sigma^4}{n - 1}とよく一致しました。また、nが増加すると分散が0に近づき、S^2が\sigma^2の一致推定量であることが確認できました。