標準正規分布から自由度1のカイ二乗分布の確率密度関数を導出しました。
コード
Vについてシミュレーションし、確率密度関数
と一致するか確認をします。
# 2017 Q5(1) 2024.11.8
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# サンプルサイズ
n_samples = 10000
# 標準正規分布 N(0, 1) からサンプルを生成
Z = np.random.normal(0, 1, n_samples)
# Z を二乗して V を計算
V = Z**2
# 導いた理論的な確率密度関数 f(v) の定義
def theoretical_pdf(v):
return (1 / np.sqrt(2 * np.pi)) * (1 / np.sqrt(v)) * np.exp(-v / 2)
# x 軸の範囲を設定し、f(v) を計算
x = np.linspace(0.01, 10, 100) # 0に近い値での計算エラーを避けるため0.01から
f_v = theoretical_pdf(x)
# ヒストグラムの描画
plt.hist(V, bins=200, density=True, alpha=0.5, label='シミュレーションによる $V=Z^2$')
plt.plot(x, f_v, 'r-', label='理論的な $f(v) = \\frac{1}{\\sqrt{2\\pi}} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{v}} e^{-v/2}$')
plt.xlabel('$V$')
plt.ylabel('密度')
plt.legend()
plt.title('自由度1のカイ二乗分布に従う $V=Z^2$ のシミュレーションと理論密度関数')
plt.show()
Vの分布は確率密度関数と一致することが確認できました。