一様分布の上限の最尤推定量を求めました。
コード
θ=10,n=20としてシミュレーションを行い、
の分布を見てみます。
# 2017 Q2(1) 2024.10.29
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# シミュレーションのパラメータ
theta_true = 10 # 真の θ の値
n = 20 # 1試行あたりのサンプル数
num_trials = 1000 # シミュレーションの試行回数
# シミュレーションを実行
theta_estimates = []
for _ in range(num_trials):
# 一様分布 U(0, theta_true) から n 個のサンプルを生成
samples = np.random.uniform(0, theta_true, n)
# サンプルの最大値を推定値 θ_hat として記録
theta_hat = np.max(samples)
theta_estimates.append(theta_hat)
# 推定値の分布をヒストグラムで表示
plt.hist(theta_estimates, bins=30, edgecolor='black', density=True)
plt.axvline(theta_true, color='red', linestyle='dashed', linewidth=1, label=f"真の θ = {theta_true}")
plt.xlabel(r'$\hat{\theta}$')
plt.ylabel('密度')
plt.title(r'$\hat{\theta} = X_{\max}$ の分布')
plt.legend()
plt.show()
は真のθより大きくならないため、結果としてθよりやや小さな値を取っているように見えます。
次にサンプルサイズnを変化させて最尤推定量がどうなるのか確認をします。
# 2017 Q2(1) 2024.10.29
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# パラメータ設定
theta_true = 10 # 真の θ の値
max_n = 100 # 最大サンプルサイズ
num_trials_per_n = 100 # 各サンプルサイズでの試行回数
# 各サンプルサイズにおける θ^ の平均を記録
theta_hat_means = []
# サンプルサイズ n を 1 から max_n まで増やしながらシミュレーション
for n in range(1, max_n + 1):
theta_estimates = []
for _ in range(num_trials_per_n):
# 一様分布 U(0, theta_true) から n 個のサンプルを生成
samples = np.random.uniform(0, theta_true, n)
# サンプルの最大値を推定値 θ_hat として記録
theta_hat = np.max(samples)
theta_estimates.append(theta_hat)
# 各 n に対する θ^ の平均を保存
theta_hat_means.append(np.mean(theta_estimates))
# グラフ描画
plt.plot(range(1, max_n + 1), theta_hat_means, label=r'$\mathbb{E}[\hat{\theta}]$')
plt.axhline(theta_true, color='red', linestyle='dashed', linewidth=1, label=f"真の θ = {theta_true}")
plt.xlabel(r'サンプルサイズ $n$')
plt.ylabel(r'推定量 $\hat{\theta}$ の平均')
plt.title(r'サンプルサイズ $n$ と $\hat{\theta}$ の関係')
plt.legend()
plt.show()
サンプルサイズnが増加するにつれて最尤推定量は真のθに近づくことが確認できました。