ホーム » コードあり » 2021 Q3(4)

2021 Q3(4)

投稿者: Qchan in コードあり, ポアソン分布, 信頼区間推定, 最尤推定, 統計検定1級 2021年統計数理投稿日: 2024年1月11日最終更新日: 2024年8月30日

ポアソン分布のパラメータλの区間推定の中点がその最尤推定値より大きくなることを学びました。面白い。

コード

ポアソン分布の確率質量関数にλに3,5,10を与えてプロットします

#2021 Q3(4)  2024.8.30

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import poisson

# パラメータ設定
lambda_values = [3, 5, 10]  # 異なる λ の値
max_x = 25  # x軸の最大値（PMFの表示範囲）

# プロットの設定
plt.figure(figsize=(12, 6))

# 各 λ について PMF を計算し、プロット
for lambda_value in lambda_values:
    x = np.arange(0, max_x + 1)  # x軸の範囲
    pmf = poisson.pmf(x, lambda_value)  # PMF を計算
    plt.plot(x, pmf, marker='o', label=f'λ = {lambda_value}')

# グラフの装飾
plt.title('ポアソン分布の確率質量関数（PMF）の比較')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('P(X=x)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

λが大きくなるほど分散も大きくなります

λの信頼区間と最尤推定値の関係を見てみます

#2021 Q3(4)  2024.8.30

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# パラメータ設定
lambda_true = 5  # 真の λ の値
n = 10  # サンプル数
num_simulations = 1000  # シミュレーション回数

# 信頼区間と最尤推定値の保存リスト
lambda_L_values = []
lambda_U_values = []
lambda_hat_values = []

# シミュレーション開始
for _ in range(num_simulations):
    # ポアソン分布に従う n 個のサンプルを生成
    samples = np.random.poisson(lambda_true, n)
    T = np.sum(samples)  # T を計算
    
    # 最尤推定値を計算
    lambda_hat = T / n
    
    # 信頼区間の計算
    lambda_L = (T - 2*np.sqrt(T + 1) + 2) / n
    lambda_U = (T + 2*np.sqrt(T + 1) + 2) / n
    
    # 結果を保存
    lambda_L_values.append(lambda_L)
    lambda_U_values.append(lambda_U)
    lambda_hat_values.append(lambda_hat)

# 信頼区間の中点の計算
lambda_M_values = [(lambda_L_values[i] + lambda_U_values[i]) / 2 for i in range(num_simulations)]
lambda_M_mean = np.mean(lambda_M_values)

# 最尤推定値の平均を計算
lambda_hat_mean = np.mean(lambda_hat_values)

# 信頼区間のプロット
plt.figure(figsize=(12, 6))
for i in range(num_simulations):
    plt.plot([lambda_L_values[i], lambda_U_values[i]], [i, i], color='blue')
plt.axvline(lambda_hat_mean, color='purple', linestyle='--', label='最尤推定値の平均')
plt.axvline(lambda_M_mean, color='orange', linestyle='-', label='信頼区間の中点の平均')
plt.title('信頼区間と最尤推定値の関係')
plt.xlabel('λ の値')
plt.ylabel('シミュレーション回数')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

# 中点の平均値を表示
print(f'信頼区間の中点の平均: {lambda_M_mean:.4f}')
print(f'最尤推定値の平均: {lambda_hat_mean:.4f}')
print(f'真の λ: {lambda_true}')

信頼区間の中点の平均: 5.2235
最尤推定値の平均: 5.0235
真の λ: 5

λの信頼区間の中点は最尤推定値よりも右にずれます。λが大きくなると分散が大きくなるためです。

X=5に固定したポアソン分布の確率質量関数P(X=5|λ)のグラフを見てみます

#2021 Q3(4)  2024.8.30

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import poisson

# パラメータ設定
x_value = 5  # 固定された x の値
n = 10  # サンプル数（ここでは仮に10個の観測データがあると仮定）
T = x_value * n  # 合計値 T は x * n として計算

# λの範囲を指定
lambda_range = np.linspace(1, 20, 200)

# λに対するPMFを計算
pmf_values = poisson.pmf(x_value, lambda_range)

# 最尤推定値（λ_hat）を計算
lambda_hat = T / n

# 信頼区間の計算
lambda_L = (T - 2*np.sqrt(T + 1) + 2) / n
lambda_U = (T + 2*np.sqrt(T + 1) + 2) / n
lambda_M = (lambda_L + lambda_U) / 2  # 信頼区間の中点

# グラフの描画
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(lambda_range, pmf_values, label=f'P(X={x_value})')

# 最尤推定値、信頼区間の上下限、中点を表示
plt.axvline(lambda_hat, color='red', linestyle='--', label=f'最尤推定値 λ_hat = {lambda_hat:.2f}')
plt.axvline(lambda_L, color='blue', linestyle='--', label=f'信頼区間下限 λ_L = {lambda_L:.2f}')
plt.axvline(lambda_U, color='green', linestyle='--', label=f'信頼区間上限 λ_U = {lambda_U:.2f}')
plt.axvline(lambda_M, color='orange', linestyle='-', label=f'信頼区間中点 λ_M = {lambda_M:.2f}')

# グラフの装飾
plt.title(f'ポアソン分布のPMFと信頼区間の中点（x={x_value}固定）')
plt.xlabel('λ')
plt.ylabel(f'P(X={x_value})')
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()