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2014 Q4(1)-2

投稿者: in コードあり, 平均二乗誤差MSE, 統計検定1級 2014年 統計数理 投稿日: 最終更新日:

5個の物体の重さを、2つずつ10通り量る場合で、最小二乗法による各物体の重さの推定量を求めました。

　

コード

最小二乗推定量\hat{\theta} = (X^T X)^{-1} X^T xに基づいて計算してみます。

# 2014 Q4(1)-2  2025.1.9

import numpy as np

# 測定値
x = np.array([10.1, 12.3, 13.5, 14.6, 9.8, 11.7, 15.3, 12.8, 13.1, 14.2])

# 設計行列 X を構築 (2つずつ異なる組み合わせで10通り測定)
X = np.array([
    [1, 1, 0, 0, 0],
    [1, 0, 1, 0, 0],
    [1, 0, 0, 1, 0],
    [1, 0, 0, 0, 1],
    [0, 1, 1, 0, 0],
    [0, 1, 0, 1, 0],
    [0, 1, 0, 0, 1],
    [0, 0, 1, 1, 0],
    [0, 0, 1, 0, 1],
    [0, 0, 0, 1, 1]
])

# 最小二乗推定量の計算
X_transpose = X.T
theta_hat = np.linalg.inv(X_transpose @ X) @ X_transpose @ x

# 結果を出力
print("最小二乗推定量 (θ̂):", theta_hat)
最小二乗推定量 (θ̂): [6.21666667 5.01666667 5.38333333 6.78333333 8.45      ]

最小二乗推定量\hat{\theta}が計算されました。

次に、手計算で導いた式に基づいて計算してみます。

# 2014 Q4(1)-2  2025.1.9

import numpy as np

# 測定値
x = np.array([10.1, 12.3, 13.5, 14.6, 9.8, 11.7, 15.3, 12.8, 13.1, 14.2])

# θ^ を問題で導いた式に基づいて計算
theta_hat = np.array([
    (3 * (x[0] + x[1] + x[2] + x[3]) - (x[4] + x[5] + x[6] + x[7] + x[8] + x[9])) / 12,
    (3 * (x[0] + x[4] + x[5] + x[6]) - (x[1] + x[2] + x[3] + x[7] + x[8] + x[9])) / 12,
    (3 * (x[1] + x[4] + x[7] + x[8]) - (x[0] + x[2] + x[3] + x[5] + x[6] + x[9])) / 12,
    (3 * (x[2] + x[5] + x[7] + x[9]) - (x[0] + x[1] + x[3] + x[4] + x[6] + x[8])) / 12,
    (3 * (x[3] + x[6] + x[8] + x[9]) - (x[0] + x[1] + x[2] + x[4] + x[5] + x[7])) / 12
])

# 結果を出力
print("最小二乗推定量 (θ̂):", theta_hat)

最小二乗推定量 (θ̂): [6.21666667 5.01666667 5.38333333 6.78333333 8.45      ]

最小二乗推定量\hat{\theta}が計算され、\hat{\theta} = (X^T X)^{-1} X^T xで計算された値と一致しました。