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2022 Q3(5)

投稿者: in ガンマ分布, コードあり, ポアソン分布, 統計検定1級 2022年 統計数理, 負の二項分布 投稿日: 最終更新日:

モーメント法によりガンマポアソン分布のパラメータの推定量を求めました。

コード

数式を使った計算

# 2022 Q3(5)  2024.8.6

from sympy import init_printing
from sympy import symbols, Eq, solve

# これでTexの表示ができる
init_printing()

# 変数の定義
r, p, X_bar, S_squared = symbols('r p X_bar S_squared')
alpha, beta = symbols('alpha beta')

# モーメント法の方程式を定義
# 期待値 E[X] にサンプル平均を一致させる
eq1_correct = Eq(X_bar, alpha / beta)
# 分散 V[X] にサンプル分散を一致させる
eq2_correct = Eq(S_squared, alpha / beta**2 + alpha / beta)

# 方程式を解いて α と β を求める
solutions_correct = solve((eq1_correct, eq2_correct), (alpha, beta))
solutions_correct

シミュレーションによる計算

# 2022 Q3(5)  2024.8.6

import numpy as np
from scipy.stats import nbinom

# 1. パラメータの設定
alpha_true = 3.0
beta_true = 2.0

# 2. 負の二項分布のパラメータ計算
r = alpha_true
p = beta_true / (beta_true + 1)

# 3. 負の二項分布から乱数を生成
sample_size = 10000
nbinom_samples = nbinom.rvs(r, p, size=sample_size)

# 4. サンプル統計量の計算
X_bar = np.mean(nbinom_samples)
S_squared = np.var(nbinom_samples, ddof=1)

# 5. モーメント法によるパラメータ推定
alpha_estimated = X_bar**2 / (S_squared - X_bar)
beta_estimated = X_bar / (S_squared - X_bar)

# 6. 推定結果の表示
print(f"推定された α: {alpha_estimated}")
print(f"推定された β: {beta_estimated}")
print(f"理論値 α: {alpha_true}")
print(f"理論値 β: {beta_true}")
推定された α: 2.93536458612626
推定された β: 1.95157541794180
理論値 α: 3.0
理論値 β: 2.0

アルゴリズム

シミュレーションによる計算

パラメータの設定:

  • 真のパラメータ \alpha と \beta を設定する。

負の二項分布のパラメータ計算:

  • パラメータ r = \alpha
  • パラメータ p = \frac{\beta}{\beta + 1}

負の二項分布から乱数を生成:

  • サンプルサイズ n を設定し、負の二項分布から乱数を生成する。

サンプル統計量の計算:

  • サンプル平均 \bar{X} と分散 S^2 を計算する。

モーメント法によるパラメータ推定:

  • 推定された \alpha を \alpha = \frac{\bar{X}^2}{S^2 - \bar{X}} で計算する。
  • 推定された \beta を \beta = \frac{\bar{X}}{S^2 - \bar{X}} で計算する。

推定結果の表示:

  • 推定された \alpha と \beta を表示する。
  • 真の \alpha と \beta を表示する。