# 2022 Q3(4)  2024.8.7

import sympy as sp

# 定義
k, lambda_var = sp.symbols('k lambda')
alpha, beta = sp.symbols('alpha beta', positive=True)

# ポアソン分布の確率質量関数
poisson_pmf = (lambda_var**k * sp.exp(-lambda_var)) / sp.factorial(k)

# ガンマ分布の確率密度関数
gamma_pdf = (beta**alpha / sp.gamma(alpha)) * lambda_var**(alpha - 1) * sp.exp(-beta * lambda_var)

# 周辺分布の計算
marginal_distribution = sp.integrate(poisson_pmf * gamma_pdf, (lambda_var, 0, sp.oo)).simplify()

# 期待値 E[X] の計算
expected_value = sp.summation(k * marginal_distribution, (k, 0, sp.oo)).simplify()

# 分散 V[X] の計算
expected_value_of_square = sp.summation(k**2 * marginal_distribution, (k, 0, sp.oo)).simplify()
variance = (expected_value_of_square - expected_value**2).simplify()

# 結果を表示
results = {
    "期待値 E[X]": expected_value,
    "分散 V[X]": variance
}

results

{'期待値 E[X]': alpha/beta, '分散 V[X]': alpha*(beta + 1)/beta**2}

import numpy as np

# パラメータの設定
alpha = 3.0
beta = 2.0
sample_size = 10000

# ガンマ分布から λ を生成
lambda_samples = np.random.gamma(alpha, 1/beta, sample_size)

# 生成された λ を使ってポアソン分布から X を生成
poisson_samples = [np.random.poisson(lam) for lam in lambda_samples]

# サンプルの期待値と分散を計算
sample_mean = np.mean(poisson_samples)
sample_variance = np.var(poisson_samples)

# 理論値を計算
theoretical_mean = alpha / beta
theoretical_variance = alpha * (beta + 1) / beta**2

# 結果を表示
results_with_caption = {
    "シミュレーションによる期待値": sample_mean,
    "理論値による期待値": theoretical_mean,
    "シミュレーションによる分散": sample_variance,
    "理論値による分散": theoretical_variance
}

results_with_caption

{'シミュレーションによる期待値': 1.5027,
 '理論値による期待値': 1.5,
 'シミュレーションによる分散': 2.31159271,
 '理論値による分散': 2.25}