# 2019 Q2(2)  2024.9.14

import sympy as sp

# 変数の定義
x, u, lambda_value = sp.symbols('x u lambda', positive=True, real=True)

# 指数分布の確率密度関数 (PDF) f(x)
f_x = lambda_value * sp.exp(-lambda_value * x)

# 畳み込み積分を計算して、g(u) = f(x) * f(u - x) の形式にする
g_u = sp.integrate(f_x * lambda_value * sp.exp(-lambda_value * (u - x)), (x, 0, u))

# 簡略化
g_u_simplified = sp.simplify(g_u)

# 結果の表示
display(g_u_simplified)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import gamma

# パラメータ設定
lambda_value = 2  # λ=2
x_range = np.linspace(0, 5, 1000)  # X1, X2 の範囲

# X1, X2 の指数分布の確率密度関数 (PDF) - 同じなので1つにまとめる
pdf_X1_X2 = lambda_value * np.exp(-lambda_value * x_range)

# U = X1 + X2 は形状パラメータk=2、スケールパラメータθ=1/λのガンマ分布
u_range = np.linspace(0, 10, 1000)
pdf_U = gamma.pdf(u_range, a=2, scale=1/lambda_value)

# グラフのプロット
plt.figure(figsize=(8, 6))

# X1 (X2) の指数分布の描画
plt.plot(x_range, pdf_X1_X2, label='X1 (X2) (指数分布)', color='blue', linestyle='--')

# U のガンマ分布の描画
plt.plot(u_range, pdf_U, label='U = X1 + X2 (ガンマ分布)', color='red')

# グラフの装飾
plt.title('X1 (X2) と U の確率密度関数の比較')
plt.xlabel('値')
plt.ylabel('確率密度')
plt.legend()

# グラフの表示
plt.show()

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import gamma

# パラメータ設定
lambda_value = 2  # λ=2
x_range = np.linspace(0, 5, 1000)  # X1, X2, U の範囲を0～5に設定

# ガンマ分布の形状パラメータを1から2まで0.1ずつ変化させる
shape_params = np.arange(1, 2.1, 0.1)  # 1から2までの形状パラメータを0.1ステップで変化

# グラフのプロット
plt.figure(figsize=(8, 6))

# 形状パラメータが1から2に変化するガンマ分布の描画
for k in shape_params:
    gamma_pdf = gamma.pdf(x_range, a=k, scale=1/lambda_value)
    plt.plot(x_range, gamma_pdf, label=f'形状パラメータ k={k:.1f}')

# X1 (X2) の指数分布の描画 - 同じなので1つにまとめる
pdf_X1_X2 = lambda_value * np.exp(-lambda_value * x_range)
plt.plot(x_range, pdf_X1_X2, label='X1 (X2) (指数分布)', color='blue', linestyle='--')

# グラフの装飾
plt.title('指数分布からガンマ分布への変化 (形状パラメータの0.1ステップ変化)')
plt.xlabel('値')
plt.ylabel('確率密度')
plt.legend()

# グラフの表示
plt.show()

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import expon, gamma

# パラメータ設定
lambda_value = 2  # λ=2
x_range = np.linspace(0, 5, 1000)  # X1, X2 の範囲

# X1, X2 の指数分布の累積分布関数 (CDF) - 同じなので1つにまとめる
cdf_X1_X2 = expon.cdf(x_range, scale=1/lambda_value)

# U = X1 + X2 は形状パラメータk=2、スケールパラメータθ=1/λのガンマ分布
u_range = np.linspace(0, 10, 1000)
cdf_U = gamma.cdf(u_range, a=2, scale=1/lambda_value)

# グラフのプロット
plt.figure(figsize=(8, 6))

# X1 (X2) の指数分布のCDFの描画
plt.plot(x_range, cdf_X1_X2, label='X1 (X2) (指数分布 CDF)', color='blue', linestyle='--')

# U のガンマ分布のCDFの描画
plt.plot(u_range, cdf_U, label='U = X1 + X2 (ガンマ分布 CDF)', color='red')

# グラフの装飾
plt.title('X1 (X2) と U の累積分布関数 (CDF) の比較')
plt.xlabel('値')
plt.ylabel('累積確率')
plt.legend()

# グラフの表示
plt.show()