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2014 Q4(1)-1

投稿者: in コードあり, 平均二乗誤差MSE, 統計検定1級 2014年 統計数理 投稿日: 最終更新日:

5個の物体の重さを、1つずつ2回量る場合で、最小二乗法による各物体の重さの推定量を求めました。

　

コード

最小二乗推定量\hat{\theta} = (X^T X)^{-1} X^T xに基づいて計算してみます。

# 2014 Q4(1)-1  2025.1.8

import numpy as np

# 測定値
x = np.array([5.1, 5.2, 7.3, 7.2, 6.8, 6.7, 4.9, 4.8, 5.5, 5.4])

# 設計行列 X を構築 (各物体を2回測定)
X = np.array([
    [1, 0, 0, 0, 0],
    [1, 0, 0, 0, 0],
    [0, 1, 0, 0, 0],
    [0, 1, 0, 0, 0],
    [0, 0, 1, 0, 0],
    [0, 0, 1, 0, 0],
    [0, 0, 0, 1, 0],
    [0, 0, 0, 1, 0],
    [0, 0, 0, 0, 1],
    [0, 0, 0, 0, 1]
])

# 最小二乗推定量の計算
X_transpose = X.T
theta_hat = np.linalg.inv(X_transpose @ X) @ X_transpose @ x

# 結果を出力
print("最小二乗推定量 (θ̂):", theta_hat)
最小二乗推定量 (θ̂): [5.15 7.25 6.75 4.85 5.45]

最小二乗推定量\hat{\theta}が計算されました。

次に、手計算で導いた式に基づいて計算してみます。

# 2014 Q4(1)-1  2025.1.8

import numpy as np

# 測定値
x = np.array([5.1, 5.2, 7.3, 7.2, 6.8, 6.7, 4.9, 4.8, 5.5, 5.4])

# θ^ を手計算の式に基づいて計算
theta_hat = np.array([
    (x[0] + x[1]) / 2,
    (x[2] + x[3]) / 2,
    (x[4] + x[5]) / 2,
    (x[6] + x[7]) / 2,
    (x[8] + x[9]) / 2
])

# 結果を出力
print("最小二乗推定量 (θ̂):", theta_hat)
最小二乗推定量 (θ̂): [5.15 7.25 6.75 4.85 5.45]

最小二乗推定量\hat{\theta}が計算され、\hat{\theta} = (X^T X)^{-1} X^T xで計算された値と一致しました。